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已知椭圆C： 
的焦距为4，且与椭圆
有相同的离心率，斜率为k的直线
经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A，B。
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围。
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解答
解：（Ⅰ）焦距为4，故c=2；
又
的离心率为
，则
，
则椭圆C的标准方程为：
。
（Ⅱ）设直线l的方程为
，
由
，消y得
，
有
，（由于点M在椭圆内，不需要判别式）
由（Ⅰ）知右焦点F坐标为（2，0），则
，
即
，
整理得，
，
代入有
，解得：
，
故直线l的斜率的取值范围
。
知识点
这道题主要考察“直线与椭圆方程的应用”知识点，在家长帮App有相关的学而思名师精编考题，快去看看吧！
举一反三
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已知直线经过椭圆C： 
的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线
：
分别交于M，N两点，如图所示。
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度的最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为
？若存在，确定点T的个数，若不存在，请说明理由。 -
如图，已知椭圆 
(2≤m≤5)，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线交于A、B、C、D，设f (m)=||AB|-|CD| |。
(1)求f (m)的解析式；
(2)求f (m)的最大、最小值。 -
如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
