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曲线的方程
曲线的方程
已知点(x,y)在椭圆C:
的第一象限上运动。
(1)求点
的轨迹C′的方程;
(2)若把轨迹C′的方程表达式记为
,且
在
内有最大值,试求椭圆C的离心率的取值范围。
题型:
解答题
难度:
偏难
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曲线y
2
=4x关于直线x=2对称的曲线方程是
A.y
2
=8-4x
B.
y
2
=4x-8
C.
y
2
=16-4x
D.
y
2
=4x-16
题型:
单选题
难度:
中档
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设F
1
、F
2
分别为椭圆C:
(a>b>0)的左、右两个焦点。
(1)若椭圆C上的点A(1,
)到F
1
、F
2
两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F
1
K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为k
PM
、k
PN
时,那么k
PM
与k
PN
之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线
写出具有类似特性的性质,并加以证明。
题型:
解答题
难度:
偏难
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已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)。
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状:
(Ⅲ)当λ=-2时,过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交于A、B两点,求△AOB的面积的最大值。
题型:
解答题
难度:
中档
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曲线C是平面内与两个定点F
1
(-1,0)和F
2
(1,0)的距离的积等于常数a
2
(a>1)的点的轨迹,
给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F
1
PF
2
的面积大于
a
2
;其中,所有正确结论的序号是( )。
题型:
填空题
难度:
中档
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为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图).在直线x=2的右侧,考察范围为到点B的距离不超过
km的区域;在直线x=2的左侧,考察范围为到A,B两点的距离之和不超过4
km的区域,
(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程;
(Ⅱ)如图所示,设线段P
1
P
2
,P
2
P
3
是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍.求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.
题型:
解答题
难度:
偏难
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如图,已知直线a∥平面α,在平面α内有一动点P,点A是定直线a上定点,且直线AP与a夹角为θ(θ为锐角),点A到平面α距离为d,则动点P的轨迹方程为
[ ]
A.x
2
tan
2
θ+y
2
=d
2
B.x
2
tan
2
θ-y
2
=d
2
C.y
2
=2d(x-
)
D.y
2
=-2d(x-
)
题型:
单选题
难度:
中档
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若圆x
2
+y
2
-ax+2y+1=0与圆x
2
+y
2
=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为( )。
题型:
填空题
难度:
中档
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方程(x-y)
2
+(xy-1)
2
=0的曲线是
[ ]
A.一条直线和一条双曲线
B.两条双曲线
C.两个点
D.以上答案都不对
题型:
单选题
难度:
中档
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动点P(x,y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴的距离多一个单位长度,则动点P的轨迹方程为
[ ]
A.x
2
-6x-10y+24=0
B.x
2
-6x-6y+24=0
C.x
2
-6x-10y+24=0或x
2
-6x-6y=0
D.x
2
-8x-8y+24=0
题型:
单选题
难度:
中档
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平面内与两定点A
1
(-a,0)、A
2
(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A
1
、A
2
两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。
(1)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;
(2)当m=-1时,对应的曲线为C
1
:对给定的m∈(-1, 0)∪(0,+∞),对应的曲线为C
2
。设F
1
、F
2
是C
2
的两个焦点。试问:在C
1
上,是否存在点N,使得△F
1
NF
2
的面积S=|m|a
2
。若存在,求tanF
1
NF
2
的值;若不存在,请说明理由。
题型:
解答题
难度:
偏难
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如图,椭圆Q:
(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点。
(1)求点P的轨迹H的方程;
(2)在Q的方程中,令a
2
=1+cosθ+sinθ,b
2
=sinθ(0<θ≤
),确定θ的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?
题型:
解答题
难度:
偏难
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如图,椭圆Q:
(a>b>0)的右焦点为F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A,B两点,P为线段AB的中点。
(1)求点P的轨迹H的方程;
(2)若在Q的方程中,令a
2
=1+cosθ+sinθ,b
2
=sinθ(0<θ≤
),设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N,当θ为何值时,△MNF为一个正三角形?
题型:
解答题
难度:
偏难
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设点P(x
0
,y
0
)在直线x=m(y≠±m,0<m<1)上,过点P作双曲线x
2
-y
2
=1的两条切线PA、PB,切点为A、B,定点M(
,0),
(1)求证:三点A、M、B共线;
(2)过点A作直线x-y=0的垂线,垂足为N,试求△AMN的重心G所在曲线方程。
题型:
解答题
难度:
偏难
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设0<θ<
,曲线x
2
sinθ+y
2
cosθ=1和x
2
cosθ-y
2
sinθ=1 有4个不同的交点,
(Ⅰ)求θ的取值范围;
(Ⅱ)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围。
题型:
解答题
难度:
偏难
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已知常数a>0,向量
c
=(0,a),
i
=(1,0),经过原点O以
c
+λ
i
为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以
i
-2λ
c
为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值。若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由。
题型:
解答题
难度:
偏难
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已知常数a>0,向量
c
=(0,a),
i
=(1,0),经过原点O以
c
+λ
i
为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以
i
-2λ
c
为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值,若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由。
题型:
解答题
难度:
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方程
所表示的曲线图形是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:
单选题
难度:
中档
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方程(x+y-1)
表示的曲线是
[ ]
A.一直线与一圆
B.一直线与一半圆
C.两射线与一圆
D.两射线与一半圆
题型:
单选题
难度:
中档
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如果曲线C上的点的坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解,那么
[ ]
A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解
D.坐标不满足F(x,y)=0的点不在C上
题型:
单选题
难度:
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