分段函数与抽象函数
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若对任意的x∈R，函数f（x）满足f（x+2012）=-f（x+2011），且f（2012）=-2012，则f（-1）=（ ） A．1 B．-1 C．2012 D．-2012 -
若函数f（x）在R上单调，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），则f（0）=（ ） A．1 B．0 C．0或1 D．不确定 -
如果f(x)=
，那么f[f（2）]=______；不等式f(2x-1)≥1 |x|≤1 0 |x|＞1
的解集是 ______．1 2 -
函数y=sinx+tanx-|sinx-tanx|在区间（
，π 2
）内的取值范围是（ ）3π 2 A．（-∞，0] B．[0，+∞） C．[-2，0] D．[0，2] -
y=f（x）有反函数y=f-1（x），又y=f（x+2）与y=f-1（x-1）互为反函数，则f-1（2007）-f-1（1）=______． -
各项为正数的数列{an} 的前n项和为Sn，且满足：Sn=
an2+1 4
an+1 2
（n∈N*）1 4
（1）求an；
（2）设函数f（n）=
，cn=f（2n+4（n∈N*），求数列{cn} 的前n项和Tn；an(n为奇数) f(
)，(n为偶数)n 2
（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式Sm+Sn＞λSk恒成立，求实数λ的最大值． -
如果对于函数f（x）的定义域内任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”．
（1）判断函数f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”；
（2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对于任意
的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤
成立．1 2
（3）设a、m为实常数，m＞0．若f（x）=alnx是区间[m，+∞）上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明）． -
研究表明：学生的接受能力依赖于老师持续讲课所用的时间．上课开始时，学生兴趣高，接受能力递增，中间有一段时间学生的兴趣不变，接受能力稳定在某个状态，随后学生的注意力开始分散，接受能力下降．分析结果和实验表明：用f（x）表示学生的接受能力，x表示老师讲课所用的时间（单位：分），可有以下的关系式：f(x)= -0.1x2+2.6x+43，(0＜x≤10) 59，(10＜x≤16) -3x+107，(16＜x≤30).
（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）一个数学难题，需要不低于55的接受能力，上课开始30分钟内，问能达到该接受能力所要求的时间共有多少分钟？ -
已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，
（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．
（2）判断f（x）的单调性并加以证明．
（3）若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减，求实数k的取值范围． -
已知函数y=f（x），对任意的两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）成立，且f（0）≠0，则f（-2007）×f（-2006）×…×f（2006）×f（2007）的值是（ ） A．0 B．1 C．2007！ D．（2007!）2 -
已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求 f（x）的解析式． -
定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0． -
已知f（x）=3x，下列运算不正确的是（ ） A．f（x）•f（y）=f（x+y） B．
=f(x-y)f(x) f(y) C．f（x）•f（y）=f（x•y） D．f（log34）=4 -
设函数f（x）是定义域在（0，+∞），且对任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n），f（4）=1，当x＞1时，恒有f（x）＞0
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数
（2）解不等式f（x+6）+f（x）＜2
（3）若∀x∈[4，16]，都有f（x）≤a，求实数a的取值范围 -
已知对∀x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）
（1）求f（1，4），f（2，8）的值；
（2）求f（1，n），f（2，2n），其中n∈N*；
（3）求证：f（2，2n）＞f（1，n）对∀n∈N*恒成立． -
已知函数f(x)=
，数列an满足an=f（n）（n∈N*），且an是递增数列，则实数a的取值范围是 ______(3-a)x-3 (x≤7) ax-6 (x＞7) -
对实数a，b定义一种运算：a⊗b=n（n为常数），具有性质（a+1）⊗b=n+1，a⊗（b+1）=n-2．若1⊗1=2，则2011⊗2011=______． -
定义域为R的函数y=f（x）满足：
①f(x+
)=-f(x)；π 2
②函数在[
，π 12
]的值域为[m，2]，并且∀x1，x2∈[7π 12
，π 12
]，当x1＜x2时恒有f（x1）＜f（x2）．7π 12
（1）求m的值；
（2）若f(
+x)=-f(π 3
-x)，并且f(π 3
sinx+π 4
)＞0求满足条件的x的集合；π 3
（3）设y=g（x）=2cos2x+sinx+m+2，若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应，求集合M． -
函数f(x)=
，若f（1）+f（a）=2，则a=______．x2+
(x＜0)1 2 ex-1(x≥0) -
函数f(x)=
，则f(-x+2(x≤-1) x2(-1＜x＜2) 2x(x≥2)
)=______，若f(a)＜3 2
，则实数a的取值范围是 ______．1 2
