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直线与椭圆方程的应用
直线与椭圆方程的应用
若直线
与焦点在x轴上的椭圆
恒有公共点,则实数
a
的取值范围是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:
单选题
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已知椭圆C的焦点分别为
和
,长轴长为6,设直线
交椭圆C于A、B两点,则线段AB的中点坐标为( )。
题型:
填空题
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设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线
与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点。
(Ⅰ)若
,求k的值;
(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值。
题型:
解答题
难度:
偏难
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已知椭圆
的右焦点为F(c,0),过F作与x轴垂直的直线与椭圆相交于点P,过点P的椭圆的切线
与x轴相交于点A,则点A的坐标为( )。
题型:
填空题
难度:
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如图,已知椭圆
的右焦点为F,过F的直线(非x轴)交椭圆于M、N两点,右准线
交x轴于点K,左顶点为A。
(Ⅰ)求证:KF平分∠MKN;
(Ⅱ)直线AM、AN分别交准线于点P、Q,设直线 MN的倾斜角为
,试用
表示线段PQ的长度|PQ|,并求|PQ|的最小值。
题型:
解答题
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已知直线经过椭圆C:
的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线
:
分别交于M,N两点,如图所示。
(1)求椭圆C的方程;
(2)求线段MN的长度的最小值;
(3)当线段MN的长度的最小时,在椭圆C上是否存在这样的点T,使得△TSB的面积为
?若存在,确定点T的个数,若不存在,请说明理由。
题型:
解答题
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偏难
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已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为5,从这个圆上任一点P向x轴作垂线PP',垂足为P',M为线段PP'上一点,且满足:
。
(I)求动点M的轨迹C的方程;
(II)若过点(3,0)且斜率为1的直线交曲线C于A、B两点,求弦AB的长。
题型:
解答题
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已知△ABC的顶点A,B在椭圆
上,C在直线
:y=x+2上,且AB∥
。
(Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;
(Ⅱ)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程。
题型:
解答题
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偏难
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已知
,当mn取得最小值时,直线
与曲线
的交点个数为( )。
题型:
填空题
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设椭圆
的左焦点为F
1
(-2,0),左准线与x轴交于点N(-3,0),过点N倾斜角为30°的直线m交椭圆于A,B两点,
(1)求直线m和椭圆的方程;
(2)求证:点F
1
(-2,0)在以线段AB为直径的圆上。
题型:
解答题
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已知O为坐标原点,点A、B分别在x轴、y轴上运动,且|AB|=8,动点P满足
,设点P的轨迹为曲线C,定点M(4,0),直线PM交曲线C于另外一点Q。
(1)求曲线C的方程;
(2)求△OPQ面积的最大值。
题型:
解答题
难度:
偏难
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已知A、B、C是椭圆M:
上的三点,其中点A的坐标为(2
,0),BC过椭圆M的中心,且
。
(1)求椭圆M的方程;
(2)过点(0,t)的直线(斜率存在时)与椭圆M交于两点P、Q,设D为椭圆M与y轴负半轴的交点,且
,求实数t的取值范围。
题型:
解答题
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偏难
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设椭圆
(a>b>0)的左焦点为F
1
(-2,0),左准线
与x轴交于点N(-3,0),过点N倾斜角为30°的直线
交椭圆于A,B两点。
(1)求直线
和椭圆的方程;
(2)求证:点F
1
(-2,0)在以线段AB为直径的圆上。
题型:
解答题
难度:
偏难
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如图,椭圆的两顶点为A(
,0),B(0,1),该椭圆的左右焦点分别是F
1
,F
2
。
(1)在线段AB上是否存在点C,使得CF
1
⊥CF
2
?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)设过F
1
的直线交椭圆于P,Q两点,求△PQF
2
面积的最大值。
题型:
解答题
难度:
偏难
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如图所示,已知圆C:
,顶点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足
,点N轨迹为曲线E。
(1)求曲线E的方程;
(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足
,求λ的取值范围。
题型:
解答题
难度:
偏难
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已知椭圆C:
的焦距为4,且与椭圆
有相同的离心率,斜率为k的直线
经过点M(0,1),与椭圆C交于不同两点A,B。
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围。
题型:
解答题
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已知椭圆
(a>b>0)的离心率e=
,且过点A(2,0),
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线
过点A且与椭圆的另一交点为B,若|AB|=
,求直线
的倾斜角。
题型:
解答题
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偏难
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已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且抛物线x
2
=-4
y的焦点是椭圆M的一个焦点,又点A(1,
)在椭圆M上。
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)已知直线
的斜率为
,若直线
与椭圆M交于B、C两点,求△ABC面积的最大值。
题型:
解答题
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已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且抛物线x
2
=-4
y的焦点是椭圆M的一个焦点,又点A(1,
)在椭圆M上。
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)已知斜率为
的直线
与椭圆M交于B、C两点,求△ABC面积的最大值。
题型:
解答题
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已知动点A,B分别在x轴、y轴上,且满足|AB|=2,点P在线段AB上,且
(t是不为零的常数)。设点P的轨迹为曲线C。
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若t=2,点M,N是C上关于原点对称的两个动点(M,N不在坐标轴上),点Q(
,3),求△QMN的面积S的最大值。
题型:
解答题
难度:
偏难
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