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抛物线的标准方程及图象
抛物线的标准方程及图象
已知抛物线的焦点在直线
:x-2y-4=0上,求抛物线的标准方程。
题型:
解答题
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点M到点F(0,2)的距离比它到直线
:y+3=0 的距离小1,则点M的轨迹方程为( )
A、x
2
=8y
B、y
2
=8x
C、x
2
=-8y
D、y
2
=-8x
题型:
单选题
难度:
中档
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已知顶点在原点O,准线方程是y=-1的抛物线与过点M(0,1)的直线
交于A,B两点,若直线OA和直线OB的斜率之和为1。
(Ⅰ)求此抛物线的标准方程;
(Ⅱ)求直线
的方程;
(Ⅲ )求直线
与抛物线相交弦AB的弦长。
题型:
解答题
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中档
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已知点A(1,0),定直线
:x=-1,B为
上的一个动点,过B作直线
,连接AB,作线段AB的垂直平分线n,交直线m于点M。
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点N(4,0)作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P,Q,求证:OP⊥OQ(O为坐标原点)。
题型:
解答题
难度:
偏难
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已知动点P(x,y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y=-1的距离相等,记点P的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程;
(2)设圆M过点A(0,2),且圆心M(a,b)在曲线C上,若圆M与x轴的交点分别为E(x
1
,0)、
G(x
2
,0),求线段EG的长度。
题型:
解答题
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过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若
,则抛物线的方程为
[ ]
A、y
2
=8x
B、y
2
=4x
C、y
2
=16x
D、y
2
=4
x
题型:
单选题
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中档
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当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是
[ ]
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
题型:
单选题
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如图,过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A.B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为
[ ]
A.y
2
=
x
B.y
2
=3x
C.y
2
=
x
D.y
2
=9x
题型:
单选题
难度:
中档
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已知抛物线y
2
=4x,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,求点M的轨迹方程.
题型:
解答题
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中档
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已知动点M到定点F(1,0)的距离与到定直线l:x=-1的距离相等,点C在直线上。
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)设过定点F,法向量
=(4,-3)的直线与(1)中的轨迹相交于A,B两点,判断
能否为钝角并说明理由。
题型:
解答题
难度:
中档
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设F(1,0),M点在x轴的负半轴上,点P在y轴上,且
。
(1)当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹C的方程;
(2)若A(4,0),是否存在垂直x轴的直线l被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。
题型:
解答题
难度:
中档
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动点P与点F(1,0)的距离和它到直线l:x=-1的距离相等,记点P的轨迹为曲线C
1
,圆C
2
的圆心T是曲线C
1
上的动点,圆C
2
与y轴交于M,N两点,且|MN|=4。
(1)求曲线C
1
的方程;
(2)设点A(a,0)(a>2),若点A到点T的最短距离为a-1,试判断直线l与圆C
2
的位置关系,并说明理由。
题型:
解答题
难度:
偏难
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已知椭圆C
1
和抛物线C
2
有公共焦点F(1,0),C
1
的中心和C
2
的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C
2
分别相交于A,B两点。
(Ⅰ)写出抛物线C
2
的标准方程;
(Ⅱ)若
,求直线l的方程;
(Ⅲ)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C
2
上,直线l与椭圆C
1
有公共点,求椭圆C
1
的长轴长的最小值。
题型:
解答题
难度:
偏难
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已知半圆x
2
+y
2
=4(y≥0),动圆与此半圆相切且与x轴相切,
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹,并画出其轨迹图形;
(Ⅱ)是否存在斜率为
的直线l,它与(Ⅰ)中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于A,B,C,D四点,且满足|AD|=2|BC|,若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。
题型:
解答题
难度:
偏难
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已知以原点为顶点的抛物线C,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为( )。
题型:
填空题
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中档
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已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P(m,4)到其准线的距离等于5,
(Ⅰ)求抛物线G的方程;
( Ⅱ)如图,过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x
2
+(y-1)
2
=1交于A,C,D,B四点,试证明|AC|·
|BD|为定值;
(Ⅲ)过A,B分别作抛物线G的切线l
1
,l
2
,且l
1
,l
2
交于点M,试求△ACM与△BDM面积之和的最小值.
题型:
解答题
难度:
偏难
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,焦点F的坐标为(1,0).
(Ⅰ)求抛物线C的标准方程;
(Ⅱ)设M,N是抛物线C的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为-4,直线MO,NO与抛物线的交点分别为点A,B,求证:动直线AB恒过一个定点。
题型:
解答题
难度:
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动点P在x轴与直线l:y=3之间的区域(含边界)上运动,且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4,
(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点Q(0,-1)作曲线C的切线,求所作的切线与曲线C所围成区域的面积.
题型:
解答题
难度:
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已知m是非零实数,抛物线C:y
2
=2px(p>0)的焦点F在直线l:x-my-
=0上.
(Ⅰ)若m=2,求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A
1
,B
1
,△AA
1
F,△BB
1
F的重心分别为G,H求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.
题型:
解答题
难度:
偏难
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已知抛物线C:y
2
=2px(p>0)过点A(1,-2)。
(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(Ⅱ)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。
题型:
解答题
难度:
中档
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