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数列的概念及简单表示法
数列的概念及简单表示法
在数列{a
n
}中,n∈N*,若
(k为常数),则称{a
n
}为“等差比数列”。下列是对“等差比数列”的判断:
①k不可能为0; ②等差数列一定是等差比数列;
③等比数列一定是等差比数列; ④等差比数列中可以有无数项为0。
其中正确的判断是
[ ]
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
题型:
单选题
难度:
中档
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某个体户,一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金,每月月底获得的利润是该月月初投入资金的
20%,每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%,每月的生活费开支为540元,余额作为资金全部投入下个月的经营,如此不断继续,问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金?若银行贷款的年利息为5%,问该个体户在年底还清银行贷款后还有多少资金?
(参考数据:
,结果精确到0.1元)
题型:
解答题
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中档
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古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16…这样的数成为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是
[ ]
A.289
B.1024
C.1225
D.1378
题型:
单选题
难度:
中档
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小丁从2003年起到2009年每年元旦到银行存入a元一年定期储蓄,若年利率r保持不变,且每年存款到期后自动转存新的一年定期.到2010年元旦,小丁将所有的存款和利息悉数取出,可提取( )元。
题型:
填空题
难度:
中档
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在一个数列中,若每一项与它的后一项的积都为同一个常数(有限数列的最后一项除外),则称该数列为等积数列,其中的常数称为公积,若数列{a
n
}是等积数列,且a
10
=2,公积为6,则a
1
·a
5
·a
9
…a
2005
等于
[ ]
A.2
502
B.2
501
C.3
502
D.3
501
题型:
单选题
难度:
中档
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若数列{a
n
}满足:对任意的n∈N*,只有有限个正整数m使得a
m
<n成立,记这样的m的个数为(a
n
)*,则得到一个新数列{(a
n
)*}.例如,若数列{a
n
}是1,2,3,…,n,…,则数列{(a
n
)*}是0,1,2,…,n-1,…,已知对任意的n∈N*,a
n
=n
2
,则(a
5
)*=( ),((a
n
)*)*=( )。
题型:
填空题
难度:
中档
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古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:
他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是
[ ]
A.289
B.1024
C.1225
D.1378
题型:
单选题
难度:
中档
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定义:若数列{A
n
}满足A
n+1
=A
n
2
,则称数列{A
n
}为“平方递推数列”。已知数列{a
n
}中,点(a
n
,a
n+1
)在函数f(x)=2x
2
+2x的图象上,其中,n为正整数,证明:数列{2a
n
+1}是“平方递推数列”。
题型:
证明题
难度:
中档
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古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过①1中1,3,6,10,…,由于这些数能表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称②2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数,下列数中既是三角形数又是正方形数的是
[ ]
A.289
B.1024
C.1225
D.1378
题型:
单选题
难度:
中档
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若数列A
n
=a
1
,a
2
,…,a
n
(n≥2)满足|a
n+1
-a
1
|=1(k=1,2,…,n-1),数列A
n
为E数列,记S(A
n
)=a
1
+a
2
+…+a
n
,
(Ⅰ)写出一个满足a
1
=a
5
=0,且S(A
5
)>0的E数列A
n
;
(Ⅱ)若a
1
=12,n=2000,证明:E数列A
n
是递增数列的充要条件是a
n
=2011;
(Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列A
n
,使得S(A
n
)=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列A
n
;如果不存在,说明理由。
题型:
解答题
难度:
偏难
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若数列A:a
1
,a
2
,…,a
n
(n≥2)满足|a
k+1
-a
k
|=1 (k=1,2,…,n-1),则称A
n
为E数列。记S(A
n
)=a
1
+a
2
+…+a
n
。
(Ⅰ)写出一个E数列A
5
满足a
1
=a
3
=0;
(Ⅱ)若a
1
=12,n=2000,证明:E数列A
n
是递增数列的充要条件是a
n
=2011;
(Ⅲ)在a
1
=4的E数列A
n
中,求使得S(A
n
)=0成立的n的最小值。
题型:
解答题
难度:
偏难
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若数列{a
n
}满足:对任意的n∈N*,只有有限个正整数m使得a
m
<n成立,记这样的m的个数为(a
n
)*,则得到一个新数列{(a
n
)*}.例如,若数列{a
n
}是1,2,3, …,n,…,则数列{(a
n
)*}是0,1,2,…,n-1,…。已知对任意的n∈N*,a
n
=n
2
,则 (a
5
)*=( ),((a
n
)*)*=( )。
题型:
填空题
难度:
中档
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已知有穷数列A:a
1
,a
2
,…,a
n
,(n≥2),若数列A中各项都是集合{x|-1<x<1}的元素,则称该数列为Γ数列。对于Γ数列A,定义如下操作过程T:从A中任取两项a
i
,a
j
,将
的值添在A的最后,然后删除a
i
,a
j
,这样得到一个n-1项的新数列A
1
(约定:一个数也视作数列)。若A
1
还是Γ数列,可继续实施操作过程T,得到的新数列记作A
2
,…,如此经过k次操作后得到的新数列记作A
k
,
(Ⅰ)设A:0,
,请写出A
1
的所有可能的结果;
(Ⅱ)求证:对于一个n项的Γ数列A操作T总可以进行n-1次;
(Ⅲ)设A:
,求A
9
的可能结果,并说明理由.
题型:
解答题
难度:
偏难
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把自然数的前五个数①排成1,2,3,4,5;②排成5,4,3,2,1;③排成3,1,4,2,5;④排成2,3,1,4,5,那么可以叫做数列的有
[ ]
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:
单选题
难度:
偏易
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在数列{a
n
}中,若a
n
2
-a
n-1
2
=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则{a
n
}称为“等方差数列”.
下列是对“等方差数列”的判断:①若{a
n
}是等方差数列,则{a
n
2
}是等差数列;
②{(-1)
n
}是等方差数列;
③若{a
n
}是等方差数列,则{a
kn
}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列;
其中正确命题序号为( ).(将所有正确的命题序号填在横线上)
题型:
填空题
难度:
中档
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下列说法正确的是
[ ]
A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同数列
C.数列{
}的第k项为
D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}
题型:
单选题
难度:
中档
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对于每项均是正整数的数列A:a
1
,a
2
,…,a
n
,定义变换T
1
,T
1
将数列A变换成数列
T
1
(A):n,a
1
-1,a
2
-1,…,a
n
-1
对于每项均是非负整数的数列B:b
1
,b
2
,…,b
m
,定义变换T
2
,T
2
将数列B各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列T
2
(B);
又定义S(B)=2(b
1
+2b
2
+…+mb
m
)+b
1
2
+b
2
2
+…+b
m
2
设A
0
是每项均为正整数的有穷数列,令A
k+1
=T
2
(T
1
(A
k
))(k=0,1,2,…)。
(1)如果数列A
0
为5,3,2,写出数列A
1
,A
2
;
(2)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T
1
(A))=S(A);
(3)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A
0
,存在正整数K,当k≥K时,S(A
k+1
)=S(A
k
)。
题型:
解答题
难度:
偏难
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甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄,甲存五年期定期储蓄,年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄,年利率为2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时,储户须交纳利息的20%作为利息税,若存满五年后两人同时从银行取出存款,则甲与乙所得本息之和的差为( )元。(假定利率五年内保持不变,结果精确到1分)
题型:
填空题
难度:
中档
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若数列{a
n
}前8项的值各异,且a
n+8
=a
n
对任意的n∈N都成立,则下列数列中可取遍{a
n
}前8项值的数列为
[ ]
A、
B、
C、
D、
题型:
单选题
难度:
中档
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某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
题型:
解答题
难度:
中档
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